ریاضی نهم صفحه ۱۲۸ - فعالیت ۱
۱- تقسیمهای زیر را انجام دهید و مراحل کار را توضیح دهید. جاهای خالی را پر و حل را کامل کنید.
الف) $$\begin{array}{l|l} 4x^3 - 3x^2 + x + 7 & x^2 - 2 \\ \hline \pm 4x^3 \mp 8x & x \\ \hline -3x^2 + 9x + 7 \end{array}$$
باقیمانده این تقسیم چیست؟
ب) $$\begin{array}{l|l} x^2 - 5x - 24 & x - 8 \\ \hline \square & \square + \square \end{array}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۸ - فعالیت ۱
در این فعالیت، ما با **تقسیم چندجملهای بر چندجملهای** به روش ستونی آشنا میشویم. این فرآیند بسیار شبیه به تقسیم اعداد حسابی است، اما با متغیرها و توانها سر و کار داریم.
**تحلیل مورد (الف):**
۱. بزرگترین توان مقسوم ($4x^3$) را بر بزرگترین توان مقسومعلیه ($x^2$) تقسیم میکنیم: $4x^3 \div x^2 = 4x$. این اولین جمله خارجقسمت است (در تصویر به اشتباه $x$ نوشته شده که باید تصحیح گردد).
۲. خارجقسمت را در مقسومعلیه ضرب کرده و زیر مقسوم مینویسیم: $4x(x^2 - 2) = 4x^3 - 8x$.
۳. عبارت حاصل را قرینه کرده و با مقسوم جمع میکنیم تا باقیمانده مرحله اول ($$-3x^2 + 9x + 7$$) به دست آید.
۴. حالا $$-3x^2$$ را بر $$x^2$$ تقسیم میکنیم که میشود **۳-**. این جمله دوم خارجقسمت است.
۵. حاصل ضرب: $$-3(x^2 - 2) = -3x^2 + 6$$. پس از قرینه کردن و جمع، باقیمانده نهایی برابر است با: **$$9x + 1$$**.
**تحلیل مورد (ب):**
۱. تقسیم جمله اول: $$x^2 \div x = x$$. (جمله اول خارجقسمت).
۲. ضرب: $$x(x - 8) = x^2 - 8x$$. این را زیر مقسوم نوشته و علامتها را عوض میکنیم.
۳. جمع: $$(x^2 - 5x) - (x^2 - 8x) = 3x$$. عدد ۲۴- را پایین میآوریم.
۴. تقسیم مرحله بعد: $$3x \div x = 3$$. (جمله دوم خارجقسمت).
۵. ضرب: $$3(x - 8) = 3x - 24$$.
۶. باقیمانده نهایی برابر با **صفر** میشود. پس این تقسیم بخشپذیر است و خارجقسمت برابر است با: **$$x + 3$$**.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۸ - تمرین ۲
۲- تقسیم زیر را انجام دهید و رابطۀ تقسیم را بنویسید. راه حل را کامل کنید.
$$\begin{array}{l|l} 10x^4 - 3x^2 + 2x - 19 & -3 + 2x^2 \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{l|l} 10x^4 - 3x^2 + 2x - 19 & 2x^2 - 3 \\ \hline +10x^4 - 15x^2 & 5x^2 + \square \\ \hline \dots \end{array}$$
رابطههای تقسیم:
$$(5x^2 + \square)(2x^2 - 3) + \square = 10x^4 - 3x^2 + 2x - 19$$
و درجه چند جملهای باقیمانده از درجه $$2x^2 - 3$$ کمتر است.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۸ - تمرین ۲
در این تمرین یاد میگیریم که همیشه قبل از شروع تقسیم، باید مقسوم و مقسومعلیه را بر حسب **توانهای نزولی $x$** (از بزرگ به کوچک) مرتب کنیم. به همین دلیل $$-3 + 2x^2$$ به $$2x^2 - 3$$ تبدیل شده است.
**گامهای حل:**
۱. **تقسیم اول:** جمله $$10x^4$$ را بر $$2x^2$$ تقسیم میکنیم: $$\frac{10x^4}{2x^2} = 5x^2$$. این جمله اول خارجقسمت است.
۲. **ضرب و تفریق:** $$5x^2$$ را در مقسومعلیه ضرب میکنیم ($$10x^4 - 15x^2$$) و با قرینه کردن، آن را از مقسوم کم میکنیم. حاصل میشود: $$12x^2 + 2x - 19$$.
۳. **تقسیم دوم:** حالا $$12x^2$$ را بر $$2x^2$$ تقسیم میکنیم: $$\frac{12x^2}{2x^2} = 6$$. پس عدد **۶** جمله دوم خارجقسمت است.
۴. **ضرب و تفریق مرحله دوم:** $$6(2x^2 - 3) = 12x^2 - 18$$. با قرینه کردن و جمع با باقیمانده قبلی، نتیجه نهایی **$$2x - 1$$** میشود.
**تکمیل رابطههای تقسیم:**
خارجقسمت: $$5x^2 + 6$$
باقیمانده: $$2x - 1$$
رابطه درستی تقسیم: **$$(5x^2 + 6)(2x^2 - 3) + (2x - 1) = 10x^4 - 3x^2 + 2x - 19$$**
**نکته مهم:** تقسیم زمانی تمام میشود که **درجه باقیمانده** (که اینجا ۱ است) از **درجه مقسومعلیه** (که ۲ است) کمتر شود.
